수놓인 밤하늘은 보는 이를 취하게 만들기도, 다가오는 먹구름은 거악(巨惡)을 형용하기도, 휘황한 노을은 여운을 남기기도 한다. 이렇듯, 날씨는 감정과 분위기를 좌지우지한다. 그리고 날씨를 표현하는 데 있어 하늘은 필수 불가결하다.

본 시리즈에서는 물리 기반 하늘 렌더링의 원리와 구현을 다룬다.

Ⅰ. 수식

태양의 빛이 카메라에 도달하기까지의 과정을 어떻게 나타낼 수 있을까?

지구에 도달한 태양의 빛은 산란하여 그 중 일부만 카메라에 도달하게 된다.

빛의 경로 내내 산란과 흡수로 인해 에너지가 감소한다.

빛의 경로 내내 산란으로 인해 빛이 들어옴으로써 에너지가 증가한다.

이를 빛이 매질을 통과하는 식인 VRE(Volume Rendering Equation)로 나타내면 다음과 같다. $$ L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \int_0^D T(t)\,\Big[\sigma_s(\mathbf{x}_t)\,L_{\text{scat}}(\mathbf{x}_t, \boldsymbol{\omega}) + \sigma_a(\mathbf{x}_t)\,L_e(\mathbf{x}_t, \boldsymbol{\omega})\Big]\,dt + T(D)\,L_0 $$ 광원을 오직 태양으로 단순화함으로써, 발광(emission)에 관한 항을 제거하면, $$ L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \int_0^D \textcolor{#419BF9}{T(t)}\,\Big[\textcolor{#00CC66}{\sigma_s(\mathbf{x}_t)\,L_{\text{scat}}(\mathbf{x}_t, \boldsymbol{\omega})}\Big]\,dt + \color{orange}T(D)\,L_0 $$ 위 식을 천천히 살펴보도록 하겠다.

$T(d)$는 들어온 빛에 대한 남은 빛의 비율 ($\frac{L_{\text{out}}}{L_{\text{in}}}$)이다. 거리 $d$에 대해 다음과 같이 표현한다 (Beer-Lambert 법칙). $$T(d) = e^{-\sigma_t d}$$ 하지만 위 식은 균일(homogeneous) 매질의 경우에만 성립한다. 대기(atmosphere)는 고도(altitude)에 따라 입자의 크기가 달라지는 불균일(heterogeneous) 매질이다. 이 경우, 거리 $d$ 동안 매 지점의 상쇄 함수 $\sigma_t(\mathbf{x})$를 적분해야 한다. 즉, $$ T(d) = e^{-\int_0^d{\sigma_t(\mathbf{x_s})}ds} $$
이를 통해 기존 VRE에서 $\color{orange}T(D)\,L_0$는 어떻게 해석할 수 있을까?

이는 대기에 도달한 빛($L_0$)이 산란과 흡수를 거쳐 상쇄되어 카메라에 도달하는 빛의 양이다.

이제, $\int$ 안의 $\textcolor{#00CC66}{\sigma_s(\mathbf{x}_t)\,L_{\text{scat}}(\mathbf{x}_t, \boldsymbol{\omega})}$를 살펴보자.

이전에 언급했듯이, 거리 $D$ 동안 외부로부터 산란(in-scattering)으로 오는 빛에 의해 광량이 증가한다. 이렇게 들어온 빛은 다시 산란하여 카메라를 향해야 비로소 보일 것이다. 들어온 빛 중 얼마나 다시 산란하여 카메라를 향할까? 추가된 광량 $\textcolor{#00CC66}{L_{\text{scat}}}$에 $\textcolor{#00CC66}{\sigma_s(\mathbf{x}_t)}$를 곱하여 $\int_0^D$동안 적분한 것이 그것이다. 그리고 그 빛은 다시 카메라까지 남은 거리 동안 산란과 흡수를 통해 상쇄될 것이다. 이에 따라 $\textcolor{#419BF9}{T(t)}$를 곱해준 것이다. 그렇다면 $\textcolor{#00CC66}{L_{\text{scat}}(\mathbf{x}_t, \boldsymbol{\omega})}$는 어떻게 표현될까? $$ \textcolor{#00CC66}{L_{\text{scat}}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega})} = \int_{S^2} p(\boldsymbol{\omega}', \boldsymbol{\omega})\,L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}')\,d\boldsymbol{\omega}' $$ 이 수식은 또 무엇인가. 차근히 살펴보자.

지금까지 $\mathbf{x}_t$로 빛이 단방향에서 들어오는 것처럼 그렸다. 거짓말이었다. 빛은 위 그림처럼 사방에서 들어온다. 따라서 사방에서 들어오는 빛을 $\int_{S^2}$로 적분해아한다.

문제는 이 과정이 재귀적이라는 것이다. 사방에서 들어온 빛은 또 다른 방향에서 산란된 빛이며, 그 빛 또한 다시 다른 방향에서 산란된 빛이다. $\int$도 달갑지 않은데, 재귀까지 들어오니 복잡해진다.

따라서 우리는 위 그림처럼 단일 산란(single scattering) 모델로 단순화할 것이다. 이전에 저렇게 그렸던 이유가 있었다. $$ \textcolor{#00CC66}{L_{\text{scat}}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega})} = p(\boldsymbol{\omega}^{\prime}, \boldsymbol{\omega}) L_\text{sun}T(D) $$ $L_{\text{scat}}$을 위처럼 다시 쓸 수 있다. 뒤의 $L_\text{sun}(D)$는 이전에 봤던 것 같지 않은가? 거리 $D$동안 상쇄된 햇빛의 양이다.

앞의 $p(\boldsymbol{\omega}^{\prime}, \boldsymbol{\omega})$는 무엇일까? $\mathbf{x}_t$로 들어온 빛은 산란되어 사방으로 흩어진다. 하지만 우리가 원하는 것은, 카메라 방향으로 산란된 빛의 비율이다. 다시 말해, $\omega^{\prime}$에서 온 빛이 $\omega$로 얼마나 향했냐는 것이다. 이를 나타낸 것이 $p(\boldsymbol{\omega}^{\prime}, \boldsymbol{\omega})$이고, 보다시피 들어오고 나가는 방향을 인자로 갖는다. 보통 코드에서는 두 방향의 $\cos$값을 인자로 갖는다.

$p$는 위상 함수(phase function)라고 불린다. 이는 확률 밀도 함수(probability density function)이며, 전 구간에 걸친 적분 값이 1이 된다는 의미이다. 예를 들어, $\omega$와 $\omega^{\prime}$에 관계 없이 모든 방향으로 균일하게 산란하는 위상 함수는 어떻게 될까? 이를 상수 $c$라고 하면,

$$ p(\omega, \omega^{\prime}) = c $$ $$ \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}c\sin(\theta){d\theta}{d\phi} = 1 $$ $$ c4\pi = 1 $$ $$ c = \frac{1}{4\pi} $$

다시 돌아와서, 배운 것을 토대로 $\textcolor{#00CC66}{\sigma_s(\mathbf{x})L_{\text{scat}}(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega})} = \sigma_s(\mathbf{x}) p(\boldsymbol{\omega}^{\prime}, \boldsymbol{\omega}) L_\text{sun}T(D)$를 한 문장으로 정리하면?
대기로 들어와 상쇄되고 카메라 쪽으로 산란된 햇빛의 양이다.

지금까지 아래 식을 차근차근 뜯어보았다. 매질을 거쳐 카메라에 도달하는 빛의 양을 어느 정도 이해했기를 바란다. $$ L(\mathbf{x}, \boldsymbol{\omega}) = \int_0^D \textcolor{#419BF9}{T(t)}\,\Big[\textcolor{#00CC66}{\sigma_s(\mathbf{x}_t)\,L_{\text{scat}}(\mathbf{x}_t, \boldsymbol{\omega})}\Big]\,dt + \color{orange}T(D)\,L_0 $$ 다음 장에서는 하늘 렌더링 모델에서 이 수치들이 어떻게 결정되는지 알아보겠다.

Ⅱ. 레일리와 미 (Rayleigh and Mie)

고도에 따라 대기 중 입자의 평균 크기가 달라진다. 이에 따라 산란의 특성이 달라진다. 입자가 비교적 작은 위쪽에는 레일리 산란(Rayleigh scattering)이 주로 일어나고, 입자가 비교적 큰 아래쪽에는 미 산란(Mie scattering)이 주를 이룬다.

두 산란에 따라 위상 함수, 산란 계수, 밀도 분포가 달라지므로 이를 중심으로 살펴보도록 하겠다. 밀도 분포는 해당 고도에서 해당 산란을 일으키는 입자가 얼마나 존재하는지로 이해하면 되겠다.

레일리 산란

고도가 높아질수록, 입자의 크기가 작아지고, 이에 따라 파장(wavelength)이 짧은 광자(photon)가 더 큰 영향을 받게 된다. 즉, 파장이 짧은 "푸른" 빛이 더 많이 산란한다. 여기저기서 푸른 파장을 지닌 광자들이 내 눈에 도달하게 되고, 나는 "여기저기"를 푸른 하늘로 인식하는 것이다. 이러한 산란을 레일리 산란이라 한다.

레일리 산란의 위상 함수는 다음을 사용하겠다. $$ p(\mu) = \frac{3(1 + \mu^2)}{16\pi} $$ $\mu$는 들어오는 빛의 방향과 산란되어 나가는 빛의 방향 사잇각의 $\cos$값이다.

레일리 산란의 산란 계수는 벡터로 표현된다. $\sigma_s^r = \begin{bmatrix} 5.802 \\ 13.558 \\ 33.1 \end{bmatrix}\times10^{-6}$을 사용하겠다.
레일리 산란의 고도 $h$에 따른 밀도 분포는 $d^r(h) = e^{\frac{-h}{8.0km}}$ 를 사용하겠다.

위 내용을 hlsl로 옮기면 다음과 같다.

HLSL

float phase_rayleigh(float mu) {
    return 0.05968310365 * (1 + mu*mu);
}

float3 Sr = float3(5.802e-6, 13.558e-6, 33.1e-6); // 레일리 산란 계수
float Dr = exp(-altitude / 8.0km); // 8.0km
float phase_rayleigh(float mu) {
return 0.05968310365 * (1 + mu*mu);
}
float3 Sr = float3(5.802e-6, 13.558e-6, 33.1e-6); // 레일리 산란 계수
float Dr = exp(-altitude / 8.0km); // 8.0km

미 산란

미 산란은 입자가 상대적으로 큰 에어로졸 (먼지, 오염)의 영향으로 일어난다. 빛의 진행 방향과 "비슷한" 방향으로 더 많이 산란한다. 태양 주위의 햇무리 효과를 낼 수 있고, 레일리 산란과 달리 빛의 파장에 의존하지 않는다.

미 산란의 위상 함수는 다음처럼 Cornette-Shanks 위상함수로 표현할 수 있다.

$$ p(\mu, g) = {\frac{3}{8\pi}}{\frac{(1 - g^2)(1 + \mu^2)}{(2 + g^2){(1 + g^2 - 2g\mu)}^{3/2}}} $$

$g$는 비대칭 계수(asymmetry parameter)로서, 산란된 빛이 원래 진행 방향으로 얼마나 유지하려는지를 나타낸다.
$g>0$의 경우, 빛이 원래 진행 방향으로 더 많이 산란되고, $g<0$의 경우, 빛이 반대 방향으로 더 많이 산란된다.
우리는 $g=0.8$로 설정하겠다.

미 산란의 산란 계수 $\sigma_s^m$는 $2.1\times10^{-5}$를 사용하도록 하겠다. 이는 날씨, 대기의 오염도 등에 따라 달라질 수 있다.
미 산란의 고도 $h$에 따른 밀도 분포는 $d^m(h) = e^{\frac{-h}{1.2km}}$ 를 사용하겠다.

위 내용을 hlsl로 옮기면 다음과 같다.

HLSL

float phase_mie(float mu, float g) {
    // Cornette-Shanks
    float g2 = g*g;
    return 0.11936620731 * (((1 - g2)*(1 + mu*mu)) / ((2 + g2) * pow(1 + g2 - 2*g*mu, 1.5)));
}

float3 Sm = 2.1e-5; // 미 산란 계수
float Dm = exp(-altitude / 1.2e3); // 1.2km
float phase_mie(float mu, float g) {
// Cornette-Shanks
float g2 = g*g;
return 0.11936620731 * (((1 - g2)*(1 + mu*mu)) / ((2 + g2) * pow(1 + g2 - 2*g*mu, 1.5)));
}
float3 Sm = 2.1e-5; // 미 산란 계수
float Dm = exp(-altitude / 1.2e3); // 1.2km

정리

표로 정리하면 다음과 같다.

	레일리	미
위상 함수	$p(\mu)=\frac{3(1+\mu^2)}{16\pi}$	$p(\mu,g)=\frac{3}{8\pi}\frac{(1-g^2)(1+\mu^2)}{(2+g^2)(1+g^2-2g\mu)^{3/2}}$
산란 계수	$\sigma_s^r=[5.802,13.558,33.1]\times10^{-6}$	$\sigma_s^m=2.1\times10^{-5}$
밀도 분포	$d^r(h)=e^{-h/(8.0\text{ km})}$	$d^m(h)=e^{-h/(1.2\text{ km})}$

아래는 레일리나 미 산란만 있을 때와 합쳐졌을 때의 렌더링 결과이다.

아래는 각 산란을 일으키는 입자의 밀도 분포 그래프이다. $x$축은 고도(km)이다. 파란색 레일리는 초록색 미보다 넓게, 보다 높게까지 분포되어 있다. 붉은색 오존은 제일 높은 고도에 텐트 형태로 존재한다.

III. 결과

아래는 C++20과 Direct3D 12로 구현한 실시간 하늘 렌더링의 결과이다.

레퍼런스

Sébastien Hillaire — A Scalable and Production Ready Sky and Atmosphere Rendering Technique Sébastien Hillaire — Physically Based Sky, Atmosphere and Cloud Rendering in Frostbite Tomoyuki Nishita et al. — Display of The Earth Taking in Account Atmospheric Scattering Epic — Sky Atmosphere Component in Unreal Engine

	레일리	미
위상 함수	\(p(\mu)=\frac{3(1+\mu^2)}{16\pi}\)	\(p(\mu,g)=\frac{3}{8\pi}\frac{(1-g^2)(1+\mu^2)}{(2+g^2)(1+g^2-2g\mu)^{3/2}}\)
산란 계수	\(\sigma_s^r=[5.802,13.558,33.1]\times10^{-6}\)	\(\sigma_s^m=2.1\times10^{-5}\)
밀도 분포	\(d^r(h)=e^{-h/(8.0\text{ km})}\)	\(d^m(h)=e^{-h/(1.2\text{ km})}\)